Mettete in una casseruola una noce di burro e fatevi rosolare la cipolla, la carota e il sedano tritati finemente. Lasciate insaporire a fuoco medio per qualche minuto, mescolando spesso con un cucchiaio di legno, poi aggiungete la polpa di manzo macinata, i funghi affettati e la salsa di pomodoro. Salate, pepate e unite al ragù qualche cucchiaio di brodo caldo. Mettete il coperchio e fate cuocere a fuoco dolce per circa mezz'ora. Nel frattempo lessate le lasagne, poche alla volta, in acqua salata e bollente. Scolatele a metà cottura e adagiatele, ben distanziate, su un canovaccio inumidito. Imburrate una teglia, rivestitene il fondo con parte delle lasagne e ricopritele con un po' di ragù, qualche fettina di prosciutto e qualche fiocchetto di burro. Ripetete questa operazione fino ad esaurimento degli ingredienti, cospargendo l'ultimo strato di lasagne con parmigiano grattugiato e burro fuso. Passate la teglia in forno già caldo (180 gradi) e fate cuocere per circa 20 minuti, sino a quando la superficie delle lasagne avrà un bel colore dorato.