Scaldate il forno a 200 gradi (termostato 6). Infarinate il piano da lavoro e un mattarello e spianate la pasta con uno spessore di 3 mm. Tagliatela in otto rettangoli di 13 cm di lunghezza. Ungete otto stampini da barchetta di il cm di lunghezza circa con la metà del burro e rivestiteli con la pasta. Pungete la pasta con una forchetta, copritela con carta pergamenata e riempite le barchette di fagioli secchi. Infornate, lasciate cuocere per dieci minuti, abbassate la temperatura del forno a 170 gradi (termostato 5), eliminate i fagioli e la carta pergamenata e lasciate cuocere le barchette per altri dieci o quindici minuti. Nel frattempo, portate a ebollizione due casseruole di acqua salata. Sgusciate i piselli (dovete ottenere 250 g circa), immergeteli in una delle casseruole di acqua bollente e lasciateli cuocere per venti o venticinque minuti. Pelate la patata, lavatela, tagliatela a pezzi e fatela cuocere per quindici minuti nella seconda casseruola. Mondate la cipolla e tritatela fine. Quando le barchette sono leggermente dorate, spegnete il forno e lasciatele in caldo, con lo sportello semiaperto. Quando le verdure sono cotte, sgocciolatele Rimettete i piselli nella casseruola, aggiungete la cipolla, il brodo e il burro rimanente, sale e pepe. Coprite e lasciate cuocere a fuoco dolce finché i piselli hanno assorbito quasi tutto il liquido; passate il contenuto della casseruola dal passaverdure o frullatelo, tenetelo in caldo. Sgocciolate le patate, fatele asciugare per qualche minuto a fuoco moderato nella casseruola, passatele o frullatele. Mescolate i due purè con un cucchiaio di legno; assaggiate, salate e pepate. Sformate le barchette e riempitele di purè servendovi di una tasca da pasticciere munita di una grossa bocchetta scanalata. Disponetele in un piatto di servizio caldo, decorate con le foglie di menta e servite.