Lessate le fave in acqua salata. Quando saranno tenere, frullatele con due o tre cucchiai della loro acqua di cottura per ridurle in purè. Nel frattempo, lavate gli asparagi e tagliateli a pezzi di 5 cm. Tenete le punte da parte e lessate il resto per 5 minuti. Unite le punte di asparagi e proseguite la cottura per 7-8 minuti circa, quindi scolateli. Preparate una besciamella: scaldate il burro a fuoco basso in un pentolino e unite la farina. Diluite con un po' di latte e, quando il composto è omogeneo, versate il latte rimasto in un colpo solo. Mescolate bene e aggiungete un cucchiaino di sale. Fate ispessire su fuoco basso, mescolando regolarmente. Aggiustate eventualmente di sale, pepate e unite il formaggio grattugiato. Mescolate il purè di fave con metà della besciamella. Lessate le sfoglie di pasta e tuffatele in acqua fredda per arrestare la cottura. Asciugatele bene e preparate le lasagne: nella pirofila unta con poco burro, alternate besciamella bianca, besciamella verde, punte di asparagi e sfoglie. Cuocete le lasagne in forno a 200 gradi per circa 25 minuti o finché la superficie sarà dorata.