Mondate le cipolle, tagliatele a fettine sottili e mettetele a bagno in una terrina piena d'acqua fredda per mezza giornata. Trascorso questo tempo, tritate finemente il lardo, servendovi della mezzaluna, ponete il ricavato in una casseruola insieme all'olio d'oliva e fate rosolare dolcemente per un paio di minuti. Unite quindi le cipolle, ben sgocciolate, e lasciatele insaporire senza farle colorire. Aggiungete anche il basilico spezzettato grossolanamente, cospargete con una presa di sale e una macinata di pepe, chiudete il recipiente e fate cuocere a calore moderato per circa dieci minuti. Mettete nella casseruola i pomodori passati al setaccio, bagnate la preparazione con un litro scarso d'acqua e fate cuocere ancora per un'ora e mezzo, mescolando di tanto in tanto con un cucchiaio di legno. Al termine, togliete la casseruola dal fuoco, unite alle cipolle due uova sbattute e il Parmigiano grattugiato, mescolate in modo da amalgamare bene il tutto, infine trasferite la preparazione in una zuppiera calda. Servite subito, accompagnando la zuppa con fette di pane casereccio fatte abbrustolire nel forno.