Pulite i funghi, staccate le cappelle, mettetele da parte e fate cuocere i gambi in un tegame con una noce di burro, un mestolo di brodo e un pizzico di sale, a calore moderato, fino a quando saranno teneri. Tritate la cipolla e fatela soffriggere dolcemente per 3-4 minuti in una casseruola con una noce di burro, l'alloro, il timo e una macinata di pepe. Bagnate il soffritto col vino rosso, fatelo evaporare a fuoco vivo, quindi unite un mestolo di brodo e lasciate cuocere per altri 5 minuti. A questo punto passate al setaccio il composto ottenuto, raccogliendo il ricavato in una casseruola pulita, unite i gambi dei funghi tritati e una noce di burro e fate cuocere per 5 minuti. Spennellate la costata con l'olio d'oliva, cospargetela da ambo i lati con sale e pepe e fatela cuocere sulla griglia per 10 minuti. Ungete col resto del burro un foglio di carta stagnola, grande abbastanza da contenere sia la carne che i funghi, e ponetevi nel mezzo la costata. Cospargetela con una presa di sale e copritela con i funghi tritati e il loro fondo di cottura. Distribuite sopra le cappelle tenute da parte, salate, pepate, chiudete il cartoccio e passatelo nel forno già caldo per 10 minuti. Servite subito.