Tritate assieme la cipolla e il sedano e metteteli a rosolare con l'olio in una casseruola. A parte, tagliate il cavolo a fettine sottili, tenendolo per qualche minuto nell'acqua fresca, quindi, senza scolarlo, buttatelo nel soffritto. Mettetevi anche le patate tagliate a dadini, senza aggiungere acqua, bastera quella del cavolo, e lasciate insaporire tutte le verdure per una decina di minuti. A parte avrete fatto lessare i fagioli, passatene la metà al setaccio e aggiungeteli alle verdure assieme alla loro acqua, quanta ne occorre per fare la minestra. Appena le patate si sono un po' intenerite, schiacciatele con la forchetta, aggiustatele di sale e finite di cuocere. Mettete due fette di pane abbrustolito in fondo ad ogni scodella, cospargetele di formaggio e versatevi la minestra calda.